viernes, 5 de febrero de 2010

Curiosidades: Los numeros primos.

En esta ocasion el post tiene que ver de nuevo con las matemáticas, tal y como ya hice en su momento para hablar del numero PI y en su segunda parte Pi-II.

Esta vez, tal y como indica el título del post tengo la sana intención de dedicarle el espacio a los números primos.
Por si acaso hay alguien que no tenga muy claro lo que son, simplemente aclarar que se trata de aquellos números naturales (es decir, enteros del 1 en adelante) que sólo son divisibles entre 1 y entre si mismos. Eso quiere decir que si los intentamos dividir entre cualquier otro número que se nos ocurra, el resultado será siempre un número decimal.

Un claro ejemplo de este tipo de numeros es el 2 o el 3. El 2 solo lo podemos dividir o bien entre 2 o bien entre 1, y cualquier otra posibilidad que se nos ocurriera nos llevaría invariablemente a un número más allá de los enteros (es decir, de los no decimales).

Estos números han traido de cabeza a los matemáticos desde su descubrimiento, pues si bien son conocidos nuestros hace mucho tiempo, no parece existir una forma clara de descubrir a priori si un número es primo o no, salvo probar a dividirlo por todos los números primos anteriores a él.
(En realidad bastaría dividirlos por todos los números anteriores a su raiz cuadrada... pero tampoco vamos a ser muy exigentes).

Ya desde los tiempos antes de Cristo, el matemático griego Erastóstenes, público una forma que se llamó la "Criba de Erastóstenes" para averiguar los números primos menores a un número dado.
El sistema era muy simple y se basaba en escribir todos los números hasta la cifra deseada e ir tachando los divisibles entre 2, entre 3, entre 5 ... etc. Al final, los números no tachados son los números primos.

Criba de Erastóstenes
Criba de Erastóstenes

De esta manera los números primos se han acabado convirtiendo por su extraña naturaleza en objeto de múltiples estudios y es que están llenos de curiosidades que hacen que den ganas de invertir unos pocos minutos en leer o en este caso escribir acerca de ellos.

1) Para empezar, salvo el 2, no hay números primos pares. Por tanto, vemos que la primalidad, será una cualidad exclusiva de los números impares.

2) No hay números primos consecutivos, salvo nuevamente el caso de nuestro amigo el 2 y su vecino inmediato el 3. Como vemos, el número 2 constituye toda una rareza dentro de nuestros extraños primos.

3) La distancia mínima entre dos primos, será por tanto de dos números, pero incluso eso, constituye una especie de rareza. A los primos separados por solo un número se les llama primos gemelos... y salvo el excepcional caso del 3-5-7 no existen gemelos "triples".

4 ) Los números primos, se han hecho muy populares con la llegada de internet, y es que el algoritmo RSA empleado para las firmas digitales por Internet, por ejemplo para los bancos, está basado en ellos. Su lógica aunque compleja es relativamente sencilla de entender. Está basado en el hecho de que tanto para un humano como para una máquina es dificil descomponer un número en todos los factores que lo forman (esto es factorizar).

Es decir, para factorizar el 8, debemos dividirlo primero entre 2, para obtener el 4, despues entre 2, para obtener el 2 y una vez más entre 2 para obtener el 1. De manera que 8 = 2^3.

Pues bien, si dispusieramos de dos números primos grandes, por ejemplo p1 y p2 y los multiplicamos, obtendremos un número muy, muy grande, que será dificil de factorizar (hay que dividir entre todos los posibles divisores), más aún sabiendo que al ser primos, no tendran otros divisores que p1 y p2. De esta manera, a menos que alguien sepa cuanto vale p1 o p2, será complicado, salvo a base de dedicar muchisimo tiempo a factorizar, saber cuales eran los números originales.

5) Aclarar que existen infinidad de textos relacionados con los números primos, incluso recientemente se ha publicado una novela que emplea a los números primos gemelos, próximos pero ineludiblemente separados, como analogía de una relación imposible. El título es "La soledad de los números primos" de Paolo Giordano, quien con una gran acogida por la crítica, vincula de una excelente manera el campo de las relaciones personales con las de las matemáticas.

6) Para verificar estas cosillas y por si alguien tiene curiosidad he diseñado un pequeño y sencillo programa que nos permitirá obtener una lista de números primos tan grande como la potencia del ordenador y la paciencia de cada uno quieran.

Este programa permite recibir un tamaño máximo, por ejemplo 1.000.000 y calculará todos los números primos existentes hasta esa cifra. O bien introducir un número cualquiera y saber si es primo o no. Así podreís buscar, si alguien tiene curiosidad si la fecha de su cumpleaños, por ejemplo hoy hace 27 años 5/02/1983 => 5021983 es primo o no. (Que, curiosamente si lo es).

El fichero contiene ademas una lista de los números primos menores que 2.000.000, por si alguien no tiene paciencia suficiente, ya que en calcularlo el programa tardó aproximadamente 90 minutos. Y para 4.000.000 más de 5 horas.

El programa y la lista se pueden descargar del siguiente enlace: Pulsar aqui, para descargar

3 comentarios:

SILVIA dijo...

hola Miguel!!!!
no te creas que he olvidado, los links que me diste... lo que pasa que al estar el peque en casa, no me da tiempo a todo, pero me los he leido.
dios, estarán pasandolo fatal. Y es una verguenza que no sean ayudados.
No se me ha olvidado, no. Y la verdad es que si que es un tema como para gritarlo a los cuatro vientos.
Necesito volver a la rutina, para tener más tiempo para estas cosas. En cuanto lo tenga, me pondré.
Eso sí, necesito que si hay novedades me lo comentes, sabes donde encontrarme verdad?
muchos besos,
silvia
(blogtiquin)

Anónimo dijo...

Muy bueno tu aporte a las matematicas , los estudiantes, tienden a subestimar el interes de las personas en las matematicas , por ejemplo estaba desesperado buscando saber si un numero superior a dos millones era o no era primo, y gracias a el programa que adjuntaste resolví el entuerto

Miguel. dijo...

Celebro que hayas encontrado interesante el post y más aun que el programilla te haya servido para solcionar tu problema.
Muchisimas gracias por tu comentario y si necesitas cualquier cosa, no dudes en preguntar.