Matemáticas: El Mínimo Común Múltiplo.

Para terminar la serie de post relacionados con la Factorización y el Máximo Común Divisor, hoy explicamos el concepto del Mínimo Común Múltiplo (MCM).

• Mínimo Común Múltiplo.

En teoría, el MCM de dos números es la primera cifra que es al mismo tiempo múltiplo de dichos números.

NOTA: Un número es múltiplo de otro, si se puede obtener el segundo número multiplicando el primero por alguna cifra. Ejemplo: 8 es múltiplo de 2, debido a que existe un valor que al multiplicarlo por 2, da 8.
Esto, al mismo tiempo implica, tal y como vimos en el post del MCD, que 2 es divisor de 8.

La cuestión, una vez visto esto, es saber como realizar este cálculo. Veamoslo con nuestro ejemplo habitual, 250 y 300.

• Obtener el MCM de 250 y 300.

El primer paso, al igual que sucede con el MCD, es obtener la factorización de los números de los que deseamos calcular el MCM.

• El siguiente paso, es buscar todos los términos primos diferentes. Vemos que en nuestro caso, son el 2, el 3 y el 5.

• Una vez encontrados todos los términos primos distintos, buscamos los que tengan el mayor exponente: 

1. El término 2, aparece con exponente 1 y exponente 2, escogemos el segundo.
2. El término 3, sólo aparece con exponente 1.
3. El término 5, aparece con exponente 2 y con exponente 3, escogemos el segundo.

El MCM será el producto de todos estos términos.

• APLICACIONES DEL MCM

Al igual que sucede con el MCD, muchas son las aplicaciones de este cálculo, pero las principales derivan de la búsqueda del primer valor que sea común a dos números. Veamos algún ejemplo.

1) Una rueda dentada tiene 250 dientes, y otra tiene 300 dientes. Si ambas comienzan a girar al mismo tiempo. ¿Cuantas vueltas deberan dar para volver a coincidir en la posición en que empezaron?

Solución: Para realizar este cálculo, parece obvio pensar que necesitamos encontrar el primer número que sea múltiplo de ambos. Hemos empleado los valores 250 y 300, por tanto revisando los cálculos previos sabemos que el MCM es 5 al cubo por 3 por 2 al cuadrado, esto es igual a 1500.

¿Qué significa esto? Que el primer número en el que ambas ruedas coinciden es cuando han pasado 1500 dientes. ¿Y cuántas vueltas son esto?

Para la primera rueda: 1500 dientes / 250 dientes por vuelta = 6 Vueltas.

Para la segunda rueda: 1500 / 300 = 5 Vueltas.

Por tanto, coincidiran cuando la primera rueda haya dado 6 vueltas y la segunda 5.

Y esto es todo por el momento. Si alguien tiene alguna duda, que deja un comentario y será respondido lo antes posible.

Matemáticas: El Máximo Común Divisor

En la anterior entrada aprendimos el concepto de factorización de un número en sus términos primos, en este caso, aprenderemos una de las funciones más importantes de ésta factorización: El cálculo del Máximo Común Divisor (MCD).

• Máximo Común Divisor.

Teoricamente, el máximo común divisor de dos números, es el valor más grande que es divisor al mismo tiempo de ambos números.

Es decir, si los divisores del 6 son los números 2 y 3 y los divisores de 10 son 2 y 5. El valor mayor que es divisor de ambos números será el 2, ya que es el único divisor que comparten ambos.

¿Como resolveremos esta cuestión para valores mayores? Veamoslo con un sencillo ejemplo.

Calcular el MCD de 250 y 300.

• Antes que nada, deberemos factorizar ambos números para obtener sus términos primos.
• Lo siguiente, será buscar todos los términos primos comunes a ambos; vemos que los términos comunes son el 2 y el 5.

• Por último es cuestión de escoger los términos primos comunes con el exponente más pequeño. Puesto que 5 al cubo incluye al 5 al cuadrado, pero no a la inversa. De modo que nuestro MCD será el producto de los términos escogidos; los menores de entre los comunes.

• APLICACIONES DEL MCD.

Las aplicaciones del MCD son muchas, pero su base es siempre equivalente a realizar un reparto de la manera más óptima posible. Dos ejemplos de problemas tipo, relacionados con el cálculo del MCD serían:

1) Si queremos embaldosar una habitación de 25'5metros de ancho x 3 metros de largo con baldosas cuadradas. ¿De qué tamaño han de ser las baldosas, en cm, para emplear el mínimo número posible de éstas sin necesidad de cortar ninguna?

Solución: La respuesta a este problema se resolvería usando el ejemplo dado con anterioridad, pasando el tamaño de la habitación a centímetros, obtendremos 250 x 300. Sólo será cuestion de calcular el MCD de ambos números para obtener el tamaño del lado de la baldosa. que como hemos visto, será 50 cm.


2) Si tenemos 250 caramelos y 300 regalices,
a)¿Cuántas bolsas podremos llenar con la máxima cantidad de caramelos y regalices en cada bolsa, de manera que todas las bolsas sean idénticas y no sobre nada?
b) ¿Cuántos caramelos y regalices habrá en cada bolsa?

Solución: a) Una vez más, empleando el cálculo realizado anteriormente, calculamos el MCD de 250 y 300, que será 50. Lo que significará que podemos rellenar 50 bolsas iguales.
b) Para saber cuántos caramelos y regalices habrá en cada bolsa, dividiremos la cantidad de cada uno de ellos, entre el número de bolsas.

Regalices: 300 : 50 = 6 Regalices por bolsa
Caramelos: 250: 50 = 5 Caramelos por bolsa

Matematicas: Factorizar en términos primos

Mi reciente trabajo como profesor eventual de matemáticas, me ha enseñado que en general la mayoría de mis alumnos, tanto en niveles de ESO, como bachillerato e incluso algunos adultos, tiene muchos problemas a la hora de enfrentarse a ejercicios de factorización en números primos y al cálculo del máximo común divisior (MCD) o al mínimo común múltiplo.

Es por eso, que me he propuesto elaborar algunos capítulos, alejándome un poco de las intenciones iniciales del blog, explicando aquellas pequeñas cosas que estan dando dolores de cabeza a mis alumnos, con la esperanza de que no solamente les sirva a ellos, si no a cualquiera que se vea enfrente de un problema semejante. Por tanto y sin mas preámbulo...

• ¿Cómo factorizar un número en términos primos?

Antes de nada, para poder entenderlo un poco mejor, convendría echarse un pequeño vistazo a esta entrada que publique hace algún tiempo al respecto de los números primos. Como resumen, para quien no tenga ganas o tiempo, sólo comentar que un número primo es aquel que no tiene mas divisores que si mismo y el uno.

NOTA: Que un número sea divisor de otro, implica que al realizar la división de ambos, el resto es cero. Por ejemplo 2 es divisor de 8, porque 8 dividido entre 2, da 4, con resto 0.

Pues bien, factorizar un número en términos o factores primos, consiste en dividir un número entre todos sus posibles divisores primos. De esta manera, se consigue dividir un número en sus partes más sencillas posibles.

¿Como se hace? La forma más común, consiste en escribir el número que deseamos factorizar a la izquierda de una raya vertical. A la derecha de la cual, escribiremos el menor divisor posible de ese número. A continuación realizaremos la división y pondremos el resultado de dicha división bajo el termino a factorizar. Repetiremos la operación mientras sea posible. La mejor forma de entenderlo es con un ejemplo.

Queremos factorizar el número 250, por tanto:

Hemos dividido el 250 entre su primer divisor posible, para obtener 125, el cual dividiremos entre 5, para obtener 25 y así sucesivamente hasta obtener el 1.
De esta manera, logramos descomponer el 250 en una multiplicación de números primos, el 2 y tres veces el 5, de ahí que pongamos 5 al cubo.

El ejercicio estaría terminado.

NOTA: Por si alguien no conoce la forma de saber que números son divisores, existen una serie de normas para los primeros y más usuales números primos.

• Un número será divisible entre 2, si es par o termina en cero. Ejemplo: 250
  
• Un numero será divisible entre 3, si la suma de sus cifras da 3 o múltiplo de 3. Ejemplo: 123
• Un número será divisible entre 5, si termina en 0 o 5. Ejemplo 125
  

No existe ninguna regla para los demás números primos, por tanto, en caso de no ser divisible entre ninguno de estos tres, se deberá realizar la división entre los demás números primos posibles, 7, 11, 13, ...etc, hasta obtener un resultado entero.

Esto sucedería, por ejemplo, con el número 650, del que adjuntamos su factorización. Vemos que el número 13 no es divisible entre 2, 3 o 5, por tanto, probamos entre 7, 11 y 13 hasta comprobar que se trata de un término primo.

El resultado final de la factorización siempre será la multiplicación de todos los divisores encontrados, elevándolos en caso de haber más de uno del mismo tipo, tantas veces como aparezca. (En este ejemplo, el 5 está elevado al cuadrado, pues se ha dividido dos veces entre 5)

Y con ésto damos por concluido el ejercicio y la primera lección. Si alguien tiene alguna duda, que no deje de escribir un comentario. Se le responderá lo antes posible.

Curiosidades: Los numeros primos.

En esta ocasion el post tiene que ver de nuevo con las matemáticas, tal y como ya hice en su momento para hablar del numero PI y en su segunda parte Pi-II.

Esta vez, tal y como indica el título del post tengo la sana intención de dedicarle el espacio a los números primos.
Por si acaso hay alguien que no tenga muy claro lo que son, simplemente aclarar que se trata de aquellos números naturales (es decir, enteros del 1 en adelante) que sólo son divisibles entre 1 y entre si mismos. Eso quiere decir que si los intentamos dividir entre cualquier otro número que se nos ocurra, el resultado será siempre un número decimal.

Un claro ejemplo de este tipo de numeros es el 2 o el 3. El 2 solo lo podemos dividir o bien entre 2 o bien entre 1, y cualquier otra posibilidad que se nos ocurriera nos llevaría invariablemente a un número más allá de los enteros (es decir, de los no decimales).

Estos números han traido de cabeza a los matemáticos desde su descubrimiento, pues si bien son conocidos nuestros hace mucho tiempo, no parece existir una forma clara de descubrir a priori si un número es primo o no, salvo probar a dividirlo por todos los números primos anteriores a él.
(En realidad bastaría dividirlos por todos los números anteriores a su raiz cuadrada... pero tampoco vamos a ser muy exigentes).

Ya desde los tiempos antes de Cristo, el matemático griego Erastóstenes, público una forma que se llamó la "Criba de Erastóstenes" para averiguar los números primos menores a un número dado.
El sistema era muy simple y se basaba en escribir todos los números hasta la cifra deseada e ir tachando los divisibles entre 2, entre 3, entre 5 ... etc. Al final, los números no tachados son los números primos.

Criba de Erastóstenes

De esta manera los números primos se han acabado convirtiendo por su extraña naturaleza en objeto de múltiples estudios y es que están llenos de curiosidades que hacen que den ganas de invertir unos pocos minutos en leer o en este caso escribir acerca de ellos.

1) Para empezar, salvo el 2, no hay números primos pares. Por tanto, vemos que la primalidad, será una cualidad exclusiva de los números impares.

2) No hay números primos consecutivos, salvo nuevamente el caso de nuestro amigo el 2 y su vecino inmediato el 3. Como vemos, el número 2 constituye toda una rareza dentro de nuestros extraños primos.

3) La distancia mínima entre dos primos, será por tanto de dos números, pero incluso eso, constituye una especie de rareza. A los primos separados por solo un número se les llama primos gemelos... y salvo el excepcional caso del 3-5-7 no existen gemelos "triples".

4 ) Los números primos, se han hecho muy populares con la llegada de internet, y es que el algoritmo RSA empleado para las firmas digitales por Internet, por ejemplo para los bancos, está basado en ellos. Su lógica aunque compleja es relativamente sencilla de entender. Está basado en el hecho de que tanto para un humano como para una máquina es dificil descomponer un número en todos los factores que lo forman (esto es factorizar).

Es decir, para factorizar el 8, debemos dividirlo primero entre 2, para obtener el 4, despues entre 2, para obtener el 2 y una vez más entre 2 para obtener el 1. De manera que 8 = 2^3.

Pues bien, si dispusieramos de dos números primos grandes, por ejemplo p1 y p2 y los multiplicamos, obtendremos un número muy, muy grande, que será dificil de factorizar (hay que dividir entre todos los posibles divisores), más aún sabiendo que al ser primos, no tendran otros divisores que p1 y p2. De esta manera, a menos que alguien sepa cuanto vale p1 o p2, será complicado, salvo a base de dedicar muchisimo tiempo a factorizar, saber cuales eran los números originales.

5) Aclarar que existen infinidad de textos relacionados con los números primos, incluso recientemente se ha publicado una novela que emplea a los números primos gemelos, próximos pero ineludiblemente separados, como analogía de una relación imposible. El título es "La soledad de los números primos" de Paolo Giordano, quien con una gran acogida por la crítica, vincula de una excelente manera el campo de las relaciones personales con las de las matemáticas.

6) Para verificar estas cosillas y por si alguien tiene curiosidad he diseñado un pequeño y sencillo programa que nos permitirá obtener una lista de números primos tan grande como la potencia del ordenador y la paciencia de cada uno quieran.

Este programa permite recibir un tamaño máximo, por ejemplo 1.000.000 y calculará todos los números primos existentes hasta esa cifra. O bien introducir un número cualquiera y saber si es primo o no. Así podreís buscar, si alguien tiene curiosidad si la fecha de su cumpleaños, por ejemplo hoy hace 27 años 5/02/1983 => 5021983 es primo o no. (Que, curiosamente si lo es).

El fichero contiene ademas una lista de los números primos menores que 2.000.000, por si alguien no tiene paciencia suficiente, ya que en calcularlo el programa tardó aproximadamente 90 minutos. Y para 4.000.000 más de 5 horas.

El programa y la lista se pueden descargar del siguiente enlace: Pulsar aqui, para descargar

Curiosidades: Pi(II)

En la anterior entrada, hablabamos de Pi en su faceta más matemática, sin embargo, existe todo un universo en torno a este número cuya trascendencia alcanza cotas que poco o nada tienen que ver con los números...

• Otras formas de calcular π.

Ya hemos visto que calcular pi, ha dejado de convertirse en un problema para convertirse practicamente en un hobbie, y desde ahí han aparecido cientos, si no miles de maneras para alcanzar la aproximación más rápida, más original, mas eficiente o la más extravagante de pi.

Una de las más famosas que se emplean hoy en día es la aproximación de Montecarlo, que consiste en imaginar un círculo insertado en un cuadrado. Es decir, una diana.

Si nos dedicáramos a lanzar dardos contra esta diana y si suponemos que la probabilidad está distribuida de manera uniforme, es decir que tenemos la misma probabilidad de dar en cualquier parte. Podremos calcular Pi simplemente multiplicando el nº de aciertos en la diana por 4 y dividiendolo entre el nº de lanzamientos totales.

• El Club de π.

Existen multitud de páginas, sociedades, colectivos, comunidades ... etc cuya única razón de ser es adorar, venerar y reverenciar a nuestro querido π. En todos ellos, suelen pedir como requisito fundamental saberse de memoria algunos digitos de π, por ejemplo los 100 primeros. Quizas os parezca una barbaridad, pero actualmente hay concursos de memorizar y recitar digitos de π.

A día de hoy, el record válido registrado por el libro Guiness lo tiene un chino, llamado Lu Chao con ¡67.890 dígitos de π!. Realmente han habido records mayores, por ejemplo Akira Haraguchi recito recientemente 100.000 dígitos de memoria, aunque no fue validado pues no grabaron completamente el desafío y no hubieron pruebas suficientes para validar la prueba.

Del mismo modo, recientemente ha sido cancelado un nuevo record, el de Jaime García (un colombiano que vive en Brunete) que ha recitado 150.000 dígitos de π en la Facultad de Estadística de la Universidad Complutense de Madrid. el problema radica la prueba duró más de tres días y Jaime presentó 652 hojas de papel con los 150.000 dígitos, los cuales fueron verificado por dos notarios.

No obstante, pese a tanto formalismo, los notarios no estuvieron presentes durante los tres días que duró la proeza y finalmente se optó por no validarlo por falta de registros suficientes.

Asi que si algún día alguno se anima a tratar de batir el record, que se asegure primero de grabarlo convenientemente,

• Merchandising de π.

Toda mitomanía que se precie, necesita de una buena dosis de merchandising y de productos oficiales con los que asistir a los eventos y demostrar que se es un auténtico fan. Es por eso, que podemos encontrar todo tipo de productos relaccionados con π, desde hieleras para hacer cubitos de hielo con forma de π, a corbatas, gorras y todo tipo de prendas de vestir.

• Encontrarte en π.

Hemos dicho que π, es infinito, y que ademas nunca se repite de la misma manera, por tanto, más tarde o más temprano, cualquier número que pensemos acabará apareciendo por ahi. El problema es que hay que saber donde.

1. En esta página http://www.angio.net/pi/piquery, podemos buscar el número que queramos y especificar desde que posición debe empezar a buscar.
   

He buscado la fecha de mi cumpleaños 18101982, y me ha encontrado en la posición 35,120,334. ¡Felicidades!

1. En esta otra podremos buscar nuestro número de teléfono entre los infinitos decimales de pi, a ver si alguien nos encuentra y nos llama. http://jclement.ca/fun/pi/search.cgi
   

yo por ejemplo he buscado el numero 555-4656 y ha aparecido en la posición nº 8.487.743.

• Poemas de π.

Cuando alguien ama mucho a otra persona, más tarde o más temprano se plantea escribirle un poema... ¿Pero qué pasa cuándo alguien está enamorado de π? Pues nada más sencillo que escribirle un poema, donde cada palabra, coincida en número de letras, con el número de decimal. Es decir, si pi es 3,141592.... nuestra primera palabra tendra 3 letras, la siguiente 1, la suiguente 4, la siguiente 1, la siguiente 5 ... y asi sucesivamente.

¡Bah!, eso es imposible, nadie va a molestarse en hacer eso. Pues eso pensaba yo, pero...

Soy y seré a todos definible,
mi nombre tengo que daros,
cociente diametral siempre inmedible
soy de los redondos aros

Me temo que en cosas de pi... nunca dejaré de sorprenderme.

Para despedirnos, un par de ellas más.

• Los pies de un elefante tienen forma circular. Multiplica el diámetro de su pie por 2 π, y el resultado obtenido es la altura del elefante (de los pies a la espalda).

• Si quisiéramos escribir en línea recta los 200.000 millones de decimales de Pi calculados por Kanada y Takahasi en 1999, el papel necesario tendría una longitud tal, que podría dar una vuelta a la circunferencia de la Tierra.

• Con sólo unos 40 decimales del número Pi se podría calcular la longitud de una circunferencia que abarcara a todo el universo visible, con un error menor que el radio de un átomo de hidrógeno.

• El matemático alemán Ludolph van Ceulen (1540-1610) pidió que, como epitafio pusieran en su lápida las 35 cifras del número Pi que había calculado.
  

• Los alemanes llaman a Pi ludofiano.

• En Seattle hay un monumento a π

Curiosidades: Pi (I)

Hoy toca hablar de Pi, ese gran desconocido que se encuentra en todos lados, ese del que todos hemos hablado y oido hablar alguna vez, pero del que casi nadie, entre los que me incluyo, sabe casi nada.

Antes de seguir, toca dar una pequeña explicación matemática para ir adentrándonos en los secretos y curiosidades que rodean a este paradójico número.

Porque Pi (π) , es un número, ¿verdad?. Bueno, pues si, Pi, es un número, más concretamente es uno de los llamados números irracionales, lo que significa tal y como su nombre indica, que nuestra cabeza no tiene la capacidad de imaginarlo y mucho menos de comprenderlo. La razón es que Pi, es un número infinito. ¿infinito? Pues también si.

Generalmente empleamos como valor para Pi ese que nos enseñaron en el colegio, es decir, 3,1416, pero esta no es ni más ni menos que una burda aproximación, a fin de cuentas, un redondeo. Su valor como hemos dicho, es infinito, por tanto imposible de escribir entero, pues nunca termina. Para que nos sirva como ejemplo, aquí tenemos sus 50 primeros decimales:
3.14159265358979323846264338327950288419716939937510...

Pero seguimos sin saber que es realmente Pi. Matemáticamente hablando, es el número de veces que podemos dividir la longitud de una circunferencia (es decir, cuanto mediría una circunferencia si pudieramos cortarla y estirarla) entre su diámetro. Este problema, que a primera vista parece sencillo, lleva poniendo a prueba a los matemáticos desde el año 3000 a.C. porque en una circunferencia caben algo más de tres veces el diámetro... ¿pero cuánto más?.

Los primeros en plantearse este problema fueron los antiguos egipcios, que con su rudimentaria matemática llegaron a un valor de 3,106. Desde ahí, fueron varias las aproximaciones, llegando a una gran variedad de resultados. Así en la Biblia se le da un valor de 3 y en China el cálculo de Pi se convirtió en una especie de atracción para los matemáticos.

De este modo en el Siglo I llegaron a la aproximación a pi = 3,162, en el SII, se estimo en 3,155. A finales del SV, el matemático y astrónomo chino Zu Chongzhi estimó el valor de π en 3,1415926, mediante polígonos de cuantiosos lados incritos en circunferencias, esta aproximación fue tan precisa que no fue superada hasta cercano el SXV, cuando el matemático persa Ghiyath al-Kashi fue capaz de calcular el valor aproximado de π con nueve dígitos. Este nuevo record cayó en 1610 cuando el matemático Ludolph Van Cenlen determinó primero 20 y después 35 cifras decimales del número pi siendo el primero en superar los resultados de Kashi.

Sin embargo, no fue hasta 1706 cuando William Jones le puso a pi, el símbolo conocido por todos (π) y se convirtión en notación habitual cuando lo adoptó el matemático Leonhard Euler en 1737.

Desde ahi, Takebe en Japón determinó π con 41 decimales en 1722, Vega averiguó 140 decimales en 1789, aunque solo 126 fueron correctos. No obstante este record se mantuvo hasta que Rutherford, calculo en 1841, 208 decimales de los cuales 152 eran correctos.

Sin embargo, el caso más dramático, es sin duda el de un inglés aficcionado a las matemáticas, William Shanks, que pasó cerca de 20 años de su vida tratando de determinar 707 decimales de π, aunque en 1944 se encontró un error en la posición 528 quedando invalidades todos las cifras siguientes. A partir de ahí, la aparición de elementos de cálculo mecánico facilitaron la tarea, permitiendo a Fergurson, el mismo que detectó el error de Shank, calcular los primeros 808 decimales de π.

Desde el diseño de la primera computadora se desarrollaron programas que permitían el cálculo de π, con la mayor cantidad posible de cifras. En 1949 un ENIAC rompió todos los récords obteniendo 2037 cifras decimales en 70 horas y pocos años después, en 1954, un NORAC llegó a 3092 cifras. A raiz de ahí, comenzó una vertiginosa carrera entre decimales donde los IBM fueron batiendo récords, llegando en 1966 a 250.000 cifras decimales en tan sólo 8 h y 23 minutos.

En la última déccada, los ordenadores podían calcular cifras inmensas. En 2004 se calculó 1 billon 351 mil 100 millones de decimales en unas quinientas horas y no parece que la cosa vaya a parar.

Hasta donde llegará esta interminable carrera es dificil de saber, pero de lo que no hay duda es de que π, no deja a la gente precisamente indiferente. Proximamente hablaremos más acerca de él, de sus curiosidades y sobre todo de hasta donde llega el enorme fanatismo por este pequeño número de infinitas cifras y tan solo dos letras.