En la anterior entrada aprendimos el concepto de factorización de un número en sus términos primos, en este caso, aprenderemos una de las funciones más importantes de ésta factorización: El cálculo del Máximo Común Divisor (MCD).
- Máximo Común Divisor.
Teoricamente, el máximo común divisor de dos números, es el valor más grande que es divisor al mismo tiempo de ambos números.
Es decir, si los divisores del 6 son los números 2 y 3 y los divisores de 10 son 2 y 5. El valor mayor que es divisor de ambos números será el 2, ya que es el único divisor que comparten ambos.
¿Como resolveremos esta cuestión para valores mayores? Veamoslo con un sencillo ejemplo.
Calcular el MCD de 250 y 300.
Es decir, si los divisores del 6 son los números 2 y 3 y los divisores de 10 son 2 y 5. El valor mayor que es divisor de ambos números será el 2, ya que es el único divisor que comparten ambos.
¿Como resolveremos esta cuestión para valores mayores? Veamoslo con un sencillo ejemplo.
Calcular el MCD de 250 y 300.
- Antes que nada, deberemos factorizar ambos números para obtener sus términos primos.
- Lo siguiente, será buscar todos los términos primos comunes a ambos; vemos que los términos comunes son el 2 y el 5.
- Por último es cuestión de escoger los términos primos comunes con el exponente más pequeño. Puesto que 5 al cubo incluye al 5 al cuadrado, pero no a la inversa. De modo que nuestro MCD será el producto de los términos escogidos; los menores de entre los comunes.
- APLICACIONES DEL MCD.
Las aplicaciones del MCD son muchas, pero su base es siempre equivalente a realizar un reparto de la manera más óptima posible. Dos ejemplos de problemas tipo, relacionados con el cálculo del MCD serían:
1) Si queremos embaldosar una habitación de 25'5metros de ancho x 3 metros de largo con baldosas cuadradas. ¿De qué tamaño han de ser las baldosas, en cm, para emplear el mínimo número posible de éstas sin necesidad de cortar ninguna?
Solución: La respuesta a este problema se resolvería usando el ejemplo dado con anterioridad, pasando el tamaño de la habitación a centímetros, obtendremos 250 x 300. Sólo será cuestion de calcular el MCD de ambos números para obtener el tamaño del lado de la baldosa. que como hemos visto, será 50 cm.
2) Si tenemos 250 caramelos y 300 regalices,
a)¿Cuántas bolsas podremos llenar con la máxima cantidad de caramelos y regalices en cada bolsa, de manera que todas las bolsas sean idénticas y no sobre nada?
b) ¿Cuántos caramelos y regalices habrá en cada bolsa?
Solución: a) Una vez más, empleando el cálculo realizado anteriormente, calculamos el MCD de 250 y 300, que será 50. Lo que significará que podemos rellenar 50 bolsas iguales.
b) Para saber cuántos caramelos y regalices habrá en cada bolsa, dividiremos la cantidad de cada uno de ellos, entre el número de bolsas.
Regalices: 300 : 50 = 6 Regalices por bolsa
Caramelos: 250: 50 = 5 Caramelos por bolsa
1) Si queremos embaldosar una habitación de 25'5metros de ancho x 3 metros de largo con baldosas cuadradas. ¿De qué tamaño han de ser las baldosas, en cm, para emplear el mínimo número posible de éstas sin necesidad de cortar ninguna?
Solución: La respuesta a este problema se resolvería usando el ejemplo dado con anterioridad, pasando el tamaño de la habitación a centímetros, obtendremos 250 x 300. Sólo será cuestion de calcular el MCD de ambos números para obtener el tamaño del lado de la baldosa. que como hemos visto, será 50 cm.
2) Si tenemos 250 caramelos y 300 regalices,
a)¿Cuántas bolsas podremos llenar con la máxima cantidad de caramelos y regalices en cada bolsa, de manera que todas las bolsas sean idénticas y no sobre nada?
b) ¿Cuántos caramelos y regalices habrá en cada bolsa?
Solución: a) Una vez más, empleando el cálculo realizado anteriormente, calculamos el MCD de 250 y 300, que será 50. Lo que significará que podemos rellenar 50 bolsas iguales.
b) Para saber cuántos caramelos y regalices habrá en cada bolsa, dividiremos la cantidad de cada uno de ellos, entre el número de bolsas.
Regalices: 300 : 50 = 6 Regalices por bolsa
Caramelos: 250: 50 = 5 Caramelos por bolsa
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