domingo, 10 de octubre de 2010

Matematicas: Factorizar en términos primos

Mi reciente trabajo como profesor eventual de matemáticas, me ha enseñado que en general la mayoría de mis alumnos, tanto en niveles de ESO, como bachillerato e incluso algunos adultos, tiene muchos problemas a la hora de enfrentarse a ejercicios de factorización en números primos y al cálculo del máximo común divisior (MCD) o al mínimo común múltiplo.

Es por eso, que me he propuesto elaborar algunos capítulos, alejándome un poco de las intenciones iniciales del blog, explicando aquellas pequeñas cosas que estan dando dolores de cabeza a mis alumnos, con la esperanza de que no solamente les sirva a ellos, si no a cualquiera que se vea enfrente de un problema semejante. Por tanto y sin mas preámbulo...

  • ¿Cómo factorizar un número en términos primos?
Antes de nada, para poder entenderlo un poco mejor, convendría echarse un pequeño vistazo a esta entrada que publique hace algún tiempo al respecto de los números primos. Como resumen, para quien no tenga ganas o tiempo, sólo comentar que un número primo es aquel que no tiene mas divisores que si mismo y el uno.

NOTA: Que un número sea divisor de otro, implica que al realizar la división de ambos, el resto es cero. Por ejemplo 2 es divisor de 8, porque 8 dividido entre 2, da 4, con resto 0.

Pues bien, factorizar un número en términos o factores primos, consiste en dividir un número entre todos sus posibles divisores primos. De esta manera, se consigue dividir un número en sus partes más sencillas posibles.

¿Como se hace? La forma más común, consiste en escribir el número que deseamos factorizar a la izquierda de una raya vertical. A la derecha de la cual, escribiremos el menor divisor posible de ese número. A continuación realizaremos la división y pondremos el resultado de dicha división bajo el termino a factorizar. Repetiremos la operación mientras sea posible. La mejor forma de entenderlo es con un ejemplo.

Queremos factorizar el número 250, por tanto:

Hemos dividido el 250 entre su primer divisor posible, para obtener 125, el cual dividiremos entre 5, para obtener 25 y así sucesivamente hasta obtener el 1.
De esta manera, logramos descomponer el 250 en una multiplicación de números primos, el 2 y tres veces el 5, de ahí que pongamos 5 al cubo.

El ejercicio estaría terminado.

NOTA: Por si alguien no conoce la forma de saber que números son divisores, existen una serie de normas para los primeros y más usuales números primos.
  • Un número será divisible entre 2, si es par o termina en cero. Ejemplo: 250
  • Un numero será divisible entre 3, si la suma de sus cifras da 3 o múltiplo de 3. Ejemplo: 123
  • Un número será divisible entre 5, si termina en 0 o 5. Ejemplo 125
No existe ninguna regla para los demás números primos, por tanto, en caso de no ser divisible entre ninguno de estos tres, se deberá realizar la división entre los demás números primos posibles, 7, 11, 13, ...etc, hasta obtener un resultado entero.

Esto sucedería, por ejemplo, con el número 650, del que adjuntamos su factorización. Vemos que el número 13 no es divisible entre 2, 3 o 5, por tanto, probamos entre 7, 11 y 13 hasta comprobar que se trata de un término primo.

El resultado final de la factorización siempre será la multiplicación de todos los divisores encontrados, elevándolos en caso de haber más de uno del mismo tipo, tantas veces como aparezca. (En este ejemplo, el 5 está elevado al cuadrado, pues se ha dividido dos veces entre 5)

Y con ésto damos por concluido el ejercicio y la primera lección. Si alguien tiene alguna duda, que no deje de escribir un comentario. Se le responderá lo antes posible.

2 comentarios:

Anónimo dijo...

quiero saber si la division de la factrizacion siempre tiene que terminar en cero o puede terminar en 1

Miguel. dijo...

El resto de la division siempre debe ser igual a cero, en caso de que fuera 1, es que la division no es exacta y por tanto no es divisible.

Como esto es un poco lioso, fijate en el ejemplo:

9 |_4__
1 2

Dividir 9 entre 4, no es exacto, por tanto el resto da cero.

Otra cosa es que al factorizar, el último término sea 1.

9 | 3
3 | 3
1*|

* Hemos factorizado hasta obtener 1.

Espero haberte solventado la duda, si no, no dudes en preguntar :)